Binäre Put-Option Vega Binäre Put-Option vega misst die Änderung des Preises einer Option aufgrund einer Änderung der impliziten Volatilität und ist die Steigung der Steigung der Binär-Put-Optionen Preis-Profil gegenüber der impliziten Volatilität. Diese Seite bietet die binäre Put-Option vega Formel, Ableitung der Formel aus ersten Prinzipien, plus veranschaulicht die binäre Put-Option vega in Bezug auf die Zeit bis zum Ablauf und implizite Volatilität. Die vega hat bei der Durchführung von binären Optionen Portfolio-Risikomanagement von entscheidender Bedeutung oder wenn man nur eine einzige spekulative Position einnimmt. Für die Optionen Market Maker, die ein dynamisches Portfolio-Risikomanagement durchführen, ist die Vega in der Tat, was der Delta-neutrale Market-Maker Handel, ständig Kauf und Verkauf von vol und Absicherung der Deltas über den Handel der zugrunde liegenden. Also für den Market-Maker, wissen, man vega ist das gleiche wie ein Futures-Händler wissen, wie viele Futures-Kontrakte sind sie longshort. Der Trader, der binäre Optionen verwendet, um Richtungsansichten zu nehmen, muss die Wirkung von vega verstehen, da ein Kauf von binären Putten mit einem Sturz des Basiswerts komplementiert werden könnte, aber eine Änderung der impliziten Volatilität könnte den Wert der Binär-Put-Option nachteilig beeinflussen die Bewegung. Binäre Put Option Vega und Finite Vega Die Vega V einer beliebigen Option ist definiert durch: P Preis der Option implizite Volatilität P eine Änderung im Wert von P eine Änderung im Wert von Binary Put Option Vega w. r.t. Volatilität Abbildung 1 zeigt binäre Put-Option Preisprofile über verschiedene implizite Volatilitäten. Abbildung 2 zeigt, wie mit sieben statischen zugrunde liegenden Preisen die Binär-Put-Optionen den Wert ändern, da die implizite Volatilität von 1,0 auf 45,0 ansteigt, so dass ein Profil aus Abbildung 2 ein vertikaler Querschnitt zu diesem zugrunde liegenden Preis in Abbildung 1 ist Erkannt werden kann ist, dass die Legende von der gleichen Abbildung in Binärruf-Option vega umgekehrt wird. Das ist, weil bei 99.75 in der Call-Option Beispiel die Option ist out-of-the-money, während mit der Put-Option Version hier ist die Option in-the-money. Wenn der zugrunde liegende Preis 100,00 beträgt, ist die Option auf dem Geld und die Änderungen der impliziten Volatilität haben keinen Einfluss auf den Preis der binären Option, da es immer 50 ist. Das 18.0-Profil von Abbildung 1 ist das höchste von Profilen, Of-the-money (wo Sgt100.00), aber das niedrigste der Profile, wenn die Binär-Put-Option ist in-the-money (Slt100.00). Was dies vorschlägt, ist, dass die implizite Volatilität steigt, die Option steigt im Wert, wenn Out-of-the-money (positives Vega) und sinkt im Wert, wenn in-the-money (negatives Vega). Abb.1 Binary Put Option Preisprofile w. r.t. Implizite Volatilität Abbildung 2 zeigt, wie die Binär-Put-Optionen den Wert für einen bestimmten zugrunde liegenden Preis ändern, wo implizite Volatilität auf der horizontalen Achse angezeigt wird. Die Steigung eines einzelnen Profils für eine bestimmte implizite Volatilität wird die vega für diese binäre Put-Option. Es ist offensichtlich, dass unterhalb des Fair Value von 50, d. h. wo die Optionen out-of-the-money sind, der Wert der Option steigt, da die implizite Volatilität entlang der unteren Achse steigt, was bedeutet, dass positiv abfallende Profile und damit positive Vegas. Zur gleichen Zeit über dem Fair Value Preis von 50 fallen die Optionen im Wert, da die implizite Volatilität steigt, was zu negativ abfallenden Profilen und negativen Vegas führt. Da die implizite Volatilität weiter auf 45,0 steigt, sind alle Profile konzertiert um 50 und flach, was zu sehr niedrigen Vega bei sehr hohen impliziten Volatilitäten führt. Abb.2 Binäre Put Option Preisprofile mit festen Basiswerten Die Vega (wie durch die obige Formel Eq (1) dargestellt, misst den Gradienten der Pisten in Abbildung 2. Binäre Put Option Vega und die Finite Difference Methode Abbildung 3 ist die S99. 75 Preisprofil läuft von 4,0 implizite Volatilität auf 16,0 implizite Volatilität, es ist ein Abschnitt des 99.75-Profils von Abb. 2. Akkorde wurden um 10,0 implizite Volatilität hinzugefügt, so dass beispielsweise der 6.0 Akkord von 7,0 Vol auf 13,0 reicht Vol. Da das Preisprofil exponentiell zunimmt, nimmt der Gradient der Akkorde um so länger die Länge des Akkords ab. Der Gradient des Akkords ist definiert durch: Gradient (P2 P1) (2 1) P2 Binärer Put-Wert bei 2 P1 Binär Setzen Sie den Wert auf 1 dh Gradient (57.5634 63.5047) (13 7) 0.9902, wie in der 6 Zeile der zentralen Spalte von Tabelle 1 angegeben. Abb.3 Slope der Vega bei 99.75 plus approximierende Vega Akkorde Die Steigungen der 10.0 Akkord und 2.0 Akkord werden in gleicher Weise berechnet und sind auch in der zentralen Spalte von Tabelle 1 dargestellt. Tabelle 1 - Von Gradient of Chord to put Vega Da der Unterschied zwischen impliziten Volatilitäten verengt, neigt der Gradient zum Vega von 0.9056 bei 10.0 impliziten Volatilität, dh Wobei t 0,0 Das vega ist also das erste differenzial des binären legalen bezahlungswertes im Hinblick auf die implizite Volatilität und kann mathematisch als: wie 0, V dP d angegeben werden, was bedeutet, dass der Gradient, wenn er auf Null fällt, sich dem Tangenten (vega) des Preisprofils nähert Von 2 bei 10,0 implizite Volatilität. Binäre Put Option Vega w. r.t. Implizite Volatilität Abbildung 1 veranschaulicht 4-tägiges, um Binär-Put-Profile mit Abbildung 4 zu vervollständigen, um die damit verbundenen Vegas für die gleichen impliziten Volatilitäten bereitzustellen. Unabhängig von der impliziten Volatilität ist das Vega, wenn am Geld immer null ist. Wenn Out-of-the-money die Binär-Put-Option Vega ist immer positiv (wie bei Out-of-the-money konventionelle Put-Optionen), aber wenn in-the-money die binäre Put-Option vega ist negativ (im Gegensatz zu in-the - Geld konventionelle Put-Optionen). Abb.4 Binäre Put Option Vega w. r.t. Implizite Volatilität Da die implizite Volatilität von 18,0 abfällt (wo die absoluten Werte des Vega das niedrigste der Profile sind), steigen die Gipfel und Tröge des Vegas absolut, während sich die Gipfel und Täler auch dem Streik näher kommen. Binäre Put Option Vega w. r.t. Time to Verfall Zahlen 5 Amp 6 bieten die Binär-Put-Optionen Preis-Profile im Laufe der Zeit, um mit der zugehörigen Binär-Put-Option Vega zu vergehen. Die maximale absolute Vega in Abbildung 6 ist ziemlich konstant bei etwa 2,43 unabhängig von der Zeit bis zum Verfall, obwohl die Zeit zum Verfall bestimmt, wie nah an den Streik die Spitze und Trog in Vega ist. Abb.5 Binäre Put Option Preisprofile w. r.t. Zeit zum Verfall Abb.6 Binäre Put Option Vega w. r.t. Zeit zum Verfall Unabhängig von der Zeit zum Verfall der Binär-Put-Option Vega reist durch Null für den jetzt vertrauten Grund, dass at-the-money-Binärdateien bei 50 Preisen oder ganz in der Nähe zu sein. Anmerkungen sind: 1) Während konventionelle Put-Option Vegas immer positiv ist, da eine Erhöhung der impliziten Volatilität immer den Wert der Option erhöht, kann der Effekt einer Erhöhung der impliziten Volatilität mit binären Put-Optionen positiv oder negativ sein, je nachdem, ob sie Sind in - oder out-of-the-money. 2) Während mit konventionellen Put-Optionen Vega ist immer am absolut höchsten, wenn am Geld, die Binär-Put-Option vega wenn at-the-money ist immer Null. 3) Out-of-the-money binäre Put-Optionen haben positive oder Null vega, in-the-money binäre Put-Optionen haben null oder negativ vega. Binary Call Option Delta Binary Call Option Delta misst die Änderung des Preises eines binären Anrufs Option aufgrund einer Veränderung des zugrunde liegenden Vermögenspreises und ist der Steigungsgrad der Binäroptionen Preisprofil gegenüber dem zugrunde liegenden Vermögenspreis (der 8216untergrund8217). Von allen Griechen könnte das Binär-Call-Option-Delta wohl als das nützlichste angesehen werden, da es auch als äquivalente Position im Basiswert interpretiert werden kann, dh das Delta übersetzt Optionen, ob einzelne Optionen oder ein Portfolio von Optionen, in ein Äquivalent Position des Basiswertes Eine Binärrufoption mit einem Delta von 0,5 bedeutet, dass, wenn der zugrunde liegende Aktienkurs 1 steigt, der Binärruf im Wert ansteigt. Eine weitere Interpretation wäre eine kurze 400 Vertragsposition in SampP500 binären Anrufen mit einem Delta von 0,25, was gleichbedeutend mit kurzen 100 SampP500 Futures wäre. Es ist wichtig zu erkennen, dass sich das Delta dynamisch in Abhängigkeit von vielen Variablen verändert, einschließlich einer Änderung des zugrunde liegenden Preises, und dass eine Änderung in einer dieser Variablen höchstwahrscheinlich eine Änderung im Delta verursachen wird. Wenn also irgendwelche oder alle Variablen, einschließlich des zugrunde liegenden Preises, der Zeit bis zum Ablauf und der impliziten Volatilität, dann ändern, dann ist die obige Option nicht zwangsläufig ein Delta von 0,5 und eine Erhöhung des Wertes durch oder die äquivalente SampP-Position ist kurz 100 SampP500-Futures . Diese praktische Anwendbarkeit und Einfachheit des Konzepts trägt zu Deltas, aus allen Griechen, die am meisten genutzt unter den Händlern, vor allem Marktmacher. Im Folgenden finden Sie eine Analyse: die Finite-Differenzen-Methode zur Auswertung von Deltas, Beispiele für die Verwendung des Deltas zur Absicherung, Vergleich der konventionellen Call-Optionen Delta mit Binär-Call-Option Delta und schließlich eine geschlossene Formel für die Binär-Call-Option Delta. Binäre Call Option Delta und Finite Delta Das Delta einer beliebigen Option ist definiert durch: P Preis der Option S Preis des zugrunde liegenden P eine Änderung des Wertes von PS eine Änderung des Wertes von S Abbildung 1 zeigt das 1 Tagespreisprofil von Ein binärer Aufruf mit Abbildung 2 zeigt (in schwarz) das gleiche Preisprofil zwischen den zugrunde liegenden Preisen von 99,78 und 99,99. Abb.1 8211 Binäre Aufruf Option Preis Profil Abb.2 8211 Fair Value Amp Delta Gradienten Der blaue 18 Tick Akkord reist zwischen dem Punkt auf dem Call Profil 9 Ticks unter dem Preis von 99,90 bis 9 Ticks oben. Der beizulegende Zeitwert der Binärrufoption bei 99,81 beträgt 3,4592 und bei 99,99 ist 46,1739, wie in der unteren Zeile der Tabelle 1 angegeben. Der Gradient dieses Akkords ist definiert durch: P 2 Binärer Rufwert bei S 2 P 1 Binärer Rufwert bei S 1 SINC Minimum Underlying Asset Price Change dh Gradient (46.1739-3.4592) (99.99-99.81) x 0.01 wie in der unteren Zeile der zentralen Spalte von Tabelle 1 angegeben. Die Steigungen des 12 Tick Akkords und 6 Tick Akkords werden berechnet Auf die gleiche Weise und werden auch in der zentralen Spalte von Tabelle 1 dargestellt. Tabelle 1 - Von Gradient of Chord zu Call Delta Von Gradient of Chord zu Call Delta Als die Preisdifferenz verengt, dh als S 0 (wie von S 0.06 und S reflektiert wird 0,03) der Gradient tendiert zum Delta von 2.4149 bei 99.90. Die Binärrufoption delta ist daher die erste Differenz der Binärrufoption Fair Value in Bezug auf den Basiswert und kann mathematisch als: S 0, dP dS angegeben werden, was bedeutet, dass bei s auf Null der Gradient des Preisprofils sich nähert Gradient der Tangente (Delta) zum zugrunde liegenden Vermögenspreis. Binary Call Option Delta und Implied Volatility Abbildung 3 zeigt 5-tägige Binärrufprofile mit Abbildung 4, die die zugehörigen Deltas über eine Reihe von impliziten Volatilitäten wie in den Legenden liefert. In Abbildung 3 ist das 9 Fair Value-Profil im Vergleich zu den anderen vier Profilen ziemlich flach, was sich in Abbildung 4 widerspiegelt, wo das 9-Delta-Profil nur 0,16 von einem Delta von 0,22 an den Flügeln auf 0,38, wenn am Geld und ist, schwankt Das flachste der fünf Delta-Profile. In Abbildung 3, mit der Volatilität bei 1 und unterhalb von 100, gibt es wenig Chance, dass der Binär-Aufruf eine Gewinnwette ist, bis der Basiswert in die Nähe des Streiks kommt, wo das Preisprofil stark schwebt, um bis 0,5 zu reisen, bevor er sich nicht mehr ausmacht Der binäre Aufrufpreis von 100. Abb.3 8211 Binäre Aufruf Option Fair Value wrt Volatilität Das 1-Delta in Abbildung 4 spiegelt diesen dramatischen Wechsel des Binärrufpreises mit dem 1-Delta-Profil wider, das Null-Delta zeigt, gefolgt von einem stark zunehmenden Delta, da sich der Binärrufpreis drastisch über eine kleine Veränderung des Basiswertes ändert, gefolgt von einem stark abnehmenden Delta Da die Binärrufoption delta auf Null zurückkehrt, während die Binärrufniveaus zum höheren Preis ausgeschaltet werden. Für die gleiche Volatilität ist das Delta des Binärrufs, der 50 Ticks im Geld ist, dasselbe wie das Delta des Binärrufs 50 Ticks Out-of-the-Money. Mit anderen Worten, die Deltas sind horizontal symmetrisch über die zugrunde liegende, wenn am Geld, d. h. wenn der zugrunde liegende bei 100 ist. Abb. 8212 Binäre Call Option Delta w. r.t. Implizite Volatilität Diese Funktion der Binär-Call-Option Delta, wenn am Geld ist die der Dirac-Delta-Funktion oder Funktion, wo die Fläche unter dem Profil ist 1. Dies bedeutet, dass die binäre Call-Option Delta, wenn am Geld und mit Zeit bis zum Verfall oder implizite Volatilität nähern sich null kann unendlich hoch mit einer Gesamtfläche von einem unter der Spitze. Diese Funktion macht offensichtlich eine delta-neutrale Absicherung als unpraktisch, wenn die Binärrufoption mit sehr wenig Zeit zum Verfall oder extrem niedrigen impliziten Volatilität am Geld ist. In der Praxis würden diese Bedingungen und eine kurze Geldbörse-Binärrufposition in Apple Inc den Delta-neutralen Trader verlangen, für das Unternehmen zu bieten, um flache Binäre Call Option Delta und Time to Expiry zu erhalten. In der obigen Abbildung (Abb. 4) Die 1,00-Delta-Peaks von der Skala bei 3,41, aber dieser Wert steigt stark an, wenn die Zeit bis zum Verfall von 5 Tagen abnimmt. Figuren 3 Amp 5 veranschaulichen binäre Anrufpreisprofile, die immer eine positive Steigung haben, so dass die Binärrufoptionen Delta immer positiv sind. Abb.5 8211 Binäre Aufruf Option Fair Value w. r.t. Zeit zum Verfall Das 25-Tage-Preisprofil in Abbildung 5 hat die längste Zeit zum Verfall und hat anschließend das niedrigste Getriebe, das in Abbildung 6 mit dem niedrigsten Delta-Profil dargestellt ist. Abb.6 8211 Binärruf Option Delta w. r.t. Zeit zum Verfall Kurze Zeit zum Verfall von Binärruf - (und Put-) Optionen bieten das größte Gearing eines Finanzinstruments, wie es durch das extrem steile Preisprofil von Abbildung 5 und das damit verbundene Delta in Abbildung 6 dargestellt ist. Die 0,1-Tage-Delta-Peaks bei 4,82, Grundsätzlich bietet Getriebe von 482 im Vergleich zu den 100 Gearing einer langen Zukunft Position. Die Verringerung der Volatilität und die Verringerung der Zeit bis zum Verfall haben einen ähnlichen Einfluss auf den Preis einer binären Option, die durch die ähnlichen Delta-Profile der Fig. 4 amp 6 bestätigt wird. Tabelle 2 zeigt 10 Tage, 5 Volatilität binäre Call Option Preise mit Deltas. Tabelle 2 - Binäre Aufruf Option Fair Value mit zugehörigem Delta Bei 99.87 ist der Binärruf 43.5921 wert und hat ein Delta von 0,4764. Wenn also der Basiswert drei Zecken von 99,87 auf 99,90 ansteigt, wird der Binärruf im Wert auf: 43.5921 3 x 0.4764 45.0213 Wenn der Basiswert 3 Ticks von 99,93 auf 99,90 fiel, wäre der Binärruf wert: 46.4641 (-3) x 0.4805 45.0226 Bei 99,90 ist der Binärrufwert in Tabelle 2 45.0250, so dass sich zwischen den oben berechneten Werten und dem wahren Wert in der Tabelle eine leichte Abweichung ergibt. Dies ist, weil die Deltas von 0,4764 und 0,4805 die Deltas für nur die beiden zugrunde liegenden Ebenen von 99,87 bzw. 99,93 sind, d. h. die Deltas ändern sich mit dem zugrunde liegenden. Bei 99,90 ist das Delta 0.4788, also ist der Wert von 0,4764 zu niedrig bei der Einschätzung der Aufwärtsbewegung von 99,87 auf 99,90, während in ähnlicher Weise das Delta von 0,4805 bei der Auswertung der Änderung des Binärrufpreises zu hoch ist, wenn der Basiswert von 99,93 auf 99,90 fällt. Der Durchschnitt der beiden Deltas bei 99,87 und 99,90 ist: (0.4764 0.4788) 2 0.4772 und sollte diese Zahl bei der ersten Berechnung oben verwendet werden, dann wird der Binärruf bei 99,90 als: 43.5921 3 x 0.4772 45.0237 ein Fehler von 0,0013 geschätzt. Der durchschnittliche Delta zwischen 99,90 und 99,93 beträgt: (0.4788 0.4805) 2 0.47965 Die zweite Berechnung würde nun einen Preis bei 99,90 von: 46.4641 (-3) x 0.47965 45.02515 einen Fehler von nur 0.00015 generieren. Der Abschnitt über die Binärrufoption gamma gibt die Antworten, warum diese Diskrepanz noch besteht. Hedging mit Binärruf Option Delta Wenn die Zahlen in Tabelle 2 auf eine Anleihen-Zukunft bezogen sind, dann ist es vielleicht nicht unvernünftig, eine binäre Option auf diese Zukunft mit einem Abrechnungswert von 1000, der 10 pro Punkt entspricht, anzubieten. Beispiel. Ein binärer Options-Trader kauft 100 Verträge der 100-Strike-Binärdatei mit 10 Tagen bis zum Verfall mit dem zukünftigen Handel bei 99.87 zu einem Preis von 43.5921, kostet insgesamt: 43.5921 x 10 x 100 Kontrakte 43.592.10 Wie hebt der Trader die unmittelbare Richtung ab Exposition 100 Kontrakte der Option mit Delta von 0,4764 entspricht einer Position von 47,64 Futures zum Futures-Preis von 99,87, so dass der Trader 48 Futures zur Absicherung verkauft (nur nicht möglich, 0,64 der Zukunft zu verkaufen. Der Optionspreis von 43.5921 wurde angekommen Durch die Mittelwertbildung in) 1) Die Zukunft fällt auf 99,81, wo die Option 40,7518 wert ist, so dass die Position PampL jetzt ist: Binäre Call Option verliert: 40.7518 43.5921 -2.8403 was einem Verlust von: -2.8403 x 10 x 100 Kontrakte -2.840.3 entspricht Entspricht einem Gewinn von: -0,060,01 x 10 x -48 2,880 ein Gesamtgewinn von 39,70 2) die Zukunft steigt auf 99,93 wo die Option 46,4641 wert ist, so dass die Position PampL jetzt ist: Binäre Call Option Gewinne: 46.4641 43.5921 2.8720 welche Entspricht einem Gewinn von: 2.8720 x 10 x 100 Kontrakte 2.872,00, was einem Verlust von: 0,060,01 x 10 x -48 -2,880 einen Gesamtverlust von 8,00 entspricht. Dieser Verlust auf der Oberseite kann durch die Über-Absicherung von 48 Futures im Gegensatz zu 47,64 Futures erklärt werden. Wenn 47,64 Futures verwendet wurden (ein Spreadbet vielleicht), dann würde der gesamte Abwärtsgewinn auf 18.10 reduziert werden, während der Aufwärtsverlust von 8.00 in einen Gewinn von 13,60 umwandeln würde. Der ständige Einsatz von Deltas zur Absicherung auf diese Weise ist für einen Optionsmarktmacher unerlässlich. Dass mit einer Hecke von 47,64 produziert einen Gewinn auf der Oberseite und Nachteil ist der Einfluss der Gamma, in diesem Fall positive Gamma. Binäre Rufoption Delta v Konventionelle Rufoption Delta Figuren 7a-e veranschaulichen den Unterschied zwischen der Zeit zum Verfall zwischen den Binärrufoptionen deltas und ihren herkömmlichen Cousinen für diejenigen, die bereits mit Konventionen vertraut sind. Abb.7a 8211 25-Tage-Binärverstärker Konventioneller Ruf Delta Abb.7b 8211 10-Tage-Binärverstärker Konventionelle Rufoption Delta Abb.7c 8211 4-Tage-Binärverstärker Konventionelle Rufoption Delta Abb.7d 8211 1-Tages-Binärverstärker Konventionelle Rufoption Delta Abb.7e 8211 0.1 Tag Binärverstärker Konventionelle Rufoption Delta Punkte der Anmerkung sind: 1) Während die herkömmlichen Rufdeltas auf einen Wert von 0,5 beschränkt sind, wenn die Option am Geld ist, ist der Binärruf am höchsten, wenn At-the-money und hat keine Einschränkung in der Lage, Unendlichkeit als Zeit zu verfahren Ansätze 0. 2) Wenn die Zeit zum Verfall ist größer als 1 Tag (Abb. 7a-c) die Verzahnung der binären Call-Option ist niedriger als die Konventionelle Aufrufoption, aber wenn die Zeit zum Verfall reduziert ist (Fig. 7d-e), wird das Delta des Binärrufs höher als der Maximalwert von 1,0 der herkömmlichen Aufrufoption. 3) Das herkömmliche Call-Option Delta-Profil ähnelt dem Preis des Binärrufs. 4) Das Ersetzen einer Reihe von impliziten Volatilitäten anstelle der verbleibenden Zeit würde einen ähnlichen Satz von Abbildungen zu den Abbildungen 7a-e. Option-Preisgestaltung unter Verwendung der endlichen Differenzmethode liefern - Matlab Während des Kurses Quantitative Ampere Computational Finance innerhalb der Mathematikabteilung bei UCL. Wir wurden gebeten, 4 Arten von Optionen, europäische Call-Option, European Put Option und Binäre Optionen mit der Finite-Differenzen-Methode Preis. Dieser Beitrag beschreibt die Black-Scholes-Gleichung und ihre Randbedingungen, die endliche Differenzmethode und schließlich den Code und die Reihenfolge der Genauigkeit. Für den Matlab-Code in diesem Beitrag habe ich die Java-Pinsel benutzt, daher müssen die Kommentare von bis geändert werden. Ich weiß, dass Sie fragen würden, warum ich nicht einen Matlab-Pinsel in den ersten Platz verwende, auch ich benutze den SyntaxHighlighter und schaue diesen Kommentar an Anmerkung vom Autor: Die lange Liste der Funktionen (1300) kann den Browser nicht mehr ansprechen, wenn du diesen benutzt Bürste. turnt mich ab. I Black-Scholes Gleichung Wo Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Dies ist eine lineare parabolische Gleichung partielle Differentialgleichung. Im Hinblick auf die Griechen. Die Black-Scholes-Gleichung kann wie folgt geschrieben werden Theta-arc sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Endverstärker Boundary Conidions Endgültige Bedingung ist die Auszahlung Boundary Bedingungen bei S0 und bei Sinfty European Call Option Black-Scholes aus der Lösung geschlossen Die geschlossene Form Lösung für die Black-Scholes-Gleichung für eine europäische Call-Option ist C (S, T) Squad N (d1) - Equad e Quad N (d2) und N ist die kumulative Verteilungsfunktion eines Standard normal. Mit der Call-Put-Paritätsgleichung CALL-PUT S - e N (-d2) können wir auch die Put-Formel P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) für Binär-Typ-Optionen riten , Auch Call - und Put-Werte genannt: II Finite Difference-Methode Die endliche Differenzmethode ist eine numerische Methode zur Approximierung der Lösungen für Differentialgleichungen mit endlicher Differenzengleichung zu annähernder Ableitung. Das Finite-Differential-Gitter hat in der Regel einen gleichen Zeitschritt, die Zeit zwischen den Knoten ist gleich S Schritte. Der Zeitschritt ist delta t und der Asset-Schritt ist delta S. Somit besteht das Gitter aus Punkten bei den Asset-Werten Sidelta S und Zeiten t T-k delta t, wobei 0leq ileq l und 0leq kleq K ist. I Delta S ist unsere Annäherung der Unendlichkeit, in dieser Übung verwenden wir Sinfty 2 cdot Strike So können wir den Optionswert an jedem dieser Rasterpunkte als VV schreiben (idelta S, T-kdelta t) Damit das Hochsymbol die Zeit ist Variable und der Index ist die Asset-Variable. Nun werden wir die Black-Scholes-Griechen-Notation verwenden, um Theta, Gamma und Delta zu approximieren. Approximating Theta Daraus folgt, dass wir die Zeitableitung aus unserem Gitter von Werten mit der Rückwärtsdifferenz der Zeit approximieren können: frac (S, t) ca. frac - VO (Delta t) Dies ist die Annäherung der Optionen theta. Es verwendet den Optionswert an zwei Punkten des Gitters V (k, i) und V (k1, i). Diese Annäherung ist eine Reihenfolge genau in Delta t und wir werden später später in den Beispielen sehen. Approximieren von Delta Die gleiche Idee kann verwendet werden, um die erste Ordnung in S-Derivat, dem Delta, zu approximieren. Aus einer Taylor-Reihenausdehnung des Optionswertes um den Punkt Sdelta S, t haben wir V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) frac delta S2 frac (S, t) O ( Delta S3) Ähnlich ist V (S-Delta S, t) V (S, t) - Delta S frac (S, t) frac delta S2 frac (S, t) - O (delta S3) Subtrahieren von dem anderen, dividieren Durch 2delta S und Umordnen ergibt Frac (S, t) frac - VO (delta S2) Approximieren von Gamma Die Gamma einer Option ist die zweite Ableitung der Option in Bezug auf den Basiswert. Die natürliche Approximation ist frac ca. frac -2V VO ( Delta S2) Diese Annäherung ist auch eine zweite Ordnung, die in Delta S als Näherung des Delta genau ist und wird dies auch später zeigen. Die explizite Finite-Diffrence-Methode Berechnung der Griechen mit der Rückwärtsdifferenz Nun stecken wir unsere bisherige Griechen-Approximation in die Black-Scholes-Gleichung frac - V frac sigma2 (i2delta S2) frac -2V V r idelta S frac - V - r V 0 Umordnen von V alpha V beta V gamma V mit alpha frac sigma2 i2 delta t - frac ir delta t beta 1 - sigma2 i2 delta t - r delta t gamma frac sigma2 i2 delta t frac ir delta t Die endliche Differenzgleichung ist überall im Inneren gültig Gitter, das an den Grenzen nicht gültig ist. Deshalb müssen wir die Grenzen definieren, abhängig von der Option, die wir bewerten. Endverstärker Begrenzungsbedingungen Für einen europäischen Anruf opation bei t T (Verfall) i I Auszahlung V (S, t) max (SE, 0) Also V max (i delta SE, 0) wobei 0leq i leq l Die Wahrscheinlichkeit von S fällt Unter E wird vernachlässigbar, auch kleine Änderungen in S fo keinen Einfluss auf den Optionspreis, dann Gammafrac 0 (Für europäische Call-Option) Gammaapproxfrac -2V V 0 Dies ist die obere Randbedingung V (alpha-gamma) V (beta 2 gamma) V) Schließlich werden wir für die Stabilitätskriterien delta t leq frac wählen. III Code und Ergebnisse Hier ist die matlab Umsetzung der Finite Differenzen Methode. Wir verwendeten die gleichen festen Parameter i. e Volatilität 0,2, Zinssatz 0,05, Ausübungspreis 100, aktueller Preis ist der diskontierte Wert des Ausübungspreises S100 e. Für jede Art von Option variieren wir den Zeitschritt und den Vermögenspreis, um zu zeigen, dass die Methode erster und zweiter Ordnung in Delta t und Delta S ist. Wir vernachlässigen auch das Alpha, Beta und Gamma extern für Klarheit. Der Alpha-Funktionscode Der Beta-Funktionscode Der Gamma-Funktionscode Wir haben auch die Ergebnisse für die geschlossene Formularlösung für eine europäische Call - und Put-Option und ähnlich für die binären Optionen vergeben. Geschlossene Formularlösung für European Call Option Geschlossene Formularlösung für European Put Option Geschlossene Formularlösung für eine European Call Option (Cash-or-nothing) Geschlossene Formularlösung für eine European Put Option (Cash-or-nothing) Hier legen wir den Optionswert fest Funktion für eine europäische Call - und Put-Option mit jeweiliger Auszahlungsbedingung max (SE, 0) und mad (ES, 0). Wir bemerken, dass der Code ähnlich ist, nur die Auszahlungsfunktion kann je nach Optionstyp i. e call oder ein put umgekehrt werden. Option Wert Funktion Binäre Option Wert Funktion In der folgenden Abbildung geben wir die Call Option Werte durch die explizite Finite-Differenz-Methode. Im Folgenden werden wir zeigen, dass die Finite-Differential-Methoden die erste Ordnung und die zweite Ordnung in Delta t und Delta S genau sind, indem sie den Fehler gegen Delta t und Delta S2 in beiden Plots zeichnen, erwarten wir eine lineare Darstellung. European Call Option Werte Fehler Vs. Delta t European Call Option Werte Fehler Vs. Delta S2 European Put Option Werte Fehler Vs. Delta t European Put Option Werte Fehler Vs. Delta S2 Plotten Sie den Fehler in Prozent gegen das Delta t und Delta S2 für die europäische Call - und Put-Option für beide Auszahlungsfunktionen kontinuierlich und binär, sehen wir deutlich, dass der Fehler linear in Delta t und Delta S2 ist. Je kleiner die Schritte in Delta t und Delta S2 sind, desto genau ist die Finite-Differenzen-Methode, aber dies kommt mit einer teuren Rechenzeit. Paul Wilmott stellt quantitative Finanzen, zweite Auflage, von Paul P. Wilmott vor
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